Chuyên ngành Hình học và Tôpô

(Theo chương trình đào tạo Thạc sĩ của Trường ĐH Khoa học tự nhiên – ĐHQGHN)

 

Tên chuyên ngành: HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ (Geometry and Topology).

Tên ngành: Toán học (Mathematics).

Bậc đào tạo: Thạc sĩ

Tên văn bằng: Thạc sĩ Toán học (Master in Mathematics)

 

Đối tượng dự thi

Đối tượng được đăng ký dự thi: Công dân nước CHXHCN Việt Nam có đủ các điều kiện quy định dưới đây được dự thi vào đào tạo thạc sĩ:

*Điều kiện văn bằng

Thí sinh phải có một trong các văn bằng sau:

- Có bằng tốt nghiệp ngành đúng hoặc phù hợp với ngành đăng ký dự thi: Toán học, Toán – Tin ứng dụng, Sư phạm Toán, Toán – Cơ.

- Có bằng tốt nghiệp đại học chính qui ngành gần với ngành đăng ký dự thi, đã học bổ sung kiến thức các môn học để có trình độ tương đương với bằng tốt nghiệp đại học ngành đúng.

*Điều kiện về thâm niên công tác

- Thí sinh có bằng tốt nghiệp đại học loại khá trở lên, ngành tốt nghiệp đúng hoặc phù hợp với ngành đăng ký dự thi được dự thi ngay sau khi tốt nghiệp đại học.

- Những trường hợp còn lại phải có ít nhất hai năm kinh nghiệm làm việc trong lĩnh vực chuyên môn đăng ký dự thi kể từ khi tốt nghiệp đại học (tính từ ngày Hiệu trưởng ký quyết định công nhận tốt nghiệp) đến ngày đăng ký dự thi.

 

Mục tiêu đào tạo:

*Về kiến thức: Trang bị các kiến thức nâng cao và được cập nhật về chuyên ngành  Hình học và Tô pô.

*Về năng lực giảng dạy và nghiên cứu khoa học: Thạc sĩ chuyên ngành Hình học và Tô pô có khả năng giảng dạy các môn Toán học cơ bản và các môn thuộc chuyên ngành Hình học và Tô pô ở các trường Đại học, Cao đẳng, có khả năng tham gia nghiên cứu và ứng dụng Toán học theo hướng chuyên ngành của mình ở các Viện, trường Đại học và các cơ quan nghiên cứu, sản xuất, kinh doang. Thạc sĩ chuyên ngành Hình học và Tô pô có thể được  tiếp tục đào tạo ở bậc học tiến sĩ theo các mã ngành tương ứng.

 

Các môn học và số tín chỉ

STT	Tên môn học	Số Tín chỉ
I.	Khối kiến thức chung	11
1	Triết học (Philosophy)	4
2	Ngoại ngữ chung (Foreign languague for general purposes)	4
3	Ngoại ngữ chuyên ngành (Foreign languague for specific purposes)	3
II.	Khối kiến thức cơ sở và chuyên ngành
	II.1. Các môn học bắt buộc	22
4	Độ đo và tích phân (Measure and Integration)	2
5	Giải tích phi tuyến (Nonlinear Analysis)	2
6	Giải tích trên đa tạp (Analysis on Manifolds)	2
7	Lý thuyết nhóm và biểu diễn nhóm (Theory of Groups and Group Representations)	2
8	Lý thuyết toán tử tuyến tính (Theory of Linear Operators)	2
9	Lý thuyết xấp xỉ (Theory of Approximation)	2
10	Hình học vi phân (Differential Geometry)	2
11	Bổ túc về đại số tuyến tính (Advanced Linear Algebra)	2
12	Đại số giao hoán (Commutative algebra)	2
13	Hình học đại số (Algebraic  Geometry)	2
14	Tôpô đại số (Algebraic Topology)	2
	II.2. Các môn học lựa chọn	8/18
15	Biểu diễn nhóm/Đối đồng điều của nhóm (Representation of Groups/Group Cohomology)	2
16	Nhóm Lie và đại số Lie (Lie Groups and Lie Algebras)	2
17	Hình học và tôpô vi phân (Differential Geometry and Topology)	2
18	K-lý thuyết và định lý chỉ số (K-theory and the Index theorem)	2
19	Lý thuyết đồng luân và đồng điều (Homotopy and Homology theory)	2
20	Lý thuyết kỳ dị (Singularity theory)	2
21	Lý thuyết nút và đa tạp số chiều thấp (Knot theory and Low – dimensional Manifolds)	2
22	Phân thớ và lớp đặc trưng (Fibre bundles and Characteristic classes)	2
23	Toán tử đối đồng điều (Cohomology Operations)	2
III.	Luận văn	16
	Cộng:	57

 

Tóm tắt nội dung môn học:

*Độ đo và tích phân

Môn học trang bị những kiến thức cơ bản và nâng cao về lý thuyết độ đo và tích phân như: Vành, đại số, - vành, - đại số các tập con của một tập đã cho, Độ đo dương,  Không gian đo được, Ánh xạ và hàm đo được, Tích phân (các hàm dương), Tích phân Lebesgue trừu tượng, Hàm khả tích, Các không gian Lebesgue Lp và Lp (1 ≤ p ≤ +∞), Các kiểu hội tụ, Độ đo tích. Độ đo ảnh, Độ đo cảm sinh, Độ đo thực hoặc phức. Khai triển, Độ đo liên tục tuyệt đối, Độ đo Radon

*Giải tích phi tuyến

Môn học này giới thiệu những khái niệm cơ bản mở đầu của giải tích hàm phi tuyến như phép tính vi phân trong không gian Banach, áp dụng của phép tính vi phân vào việc nghiên cứu bài toán cực trị của các phiếm hàm khả vi đặc biệt là các bài toán của phép tính biến phân. Ngoài ra môn học cũng trình bày một số định lý về điểm bất động của các ánh xạ liên tục trong các không gian metric, cấu trúc hình học của các không gian Banach cũng như một số định lý về điểm bất động của các ánh xạ không giãn trong không gian Banach và không gian Hilbert cùng với một vài áp dụng của các định lý đó.

*Giải tích trên đa tạp

Môn học trang bị những kiến thức cơ bản về phép tính vi tích phân trên đa tạp khả vi: các đa tạp con trong Rn, trường véc tơ, đa tạp khả vi và tích phân trên đa tạp.

*Lý thuyết nhóm và biểu diễn nhóm

Môn học trang bị những kiến thức cơ bản và nâng cao về lý thuyết nhóm và biểu diễn nhóm: Biểu diễn nhóm, Vành nhóm, Môđun trên vành nhóm, Đồng cấu môđun trên vành nhóm, Môđun con và tính khả quy, Định lý Maschke, Bổ đề Schur, Môđun bất khả quy, Phân tích vành nhóm thành các môđun con bất khả quy, Các lớp liên hợp, Đặc trưng của biểu diễn, Tích vô hướng của các đặc trưng, Số các biểu diễn bất khả quy của một nhóm, Bảng đặc trưng và các quan hệ trực giao, Nhóm con chuẩn tắc và nâng các đặc trưng, Một số bảng đặc trưng sơ cấp, Tích tenxơ của các biểu diễn, Hạn chế biểu diễn xuống nhóm con, Môđun và đặc trưng cảm sinh.

*Lý thuyết toán tử tuyến tính

Môn học trang bị những kiến thức cơ bản về lý thuyết nửa nhóm toán tử, lý thuyết nhiễu loạn và xấp xỉ.

*Lý thuyết xấp xỉ

Môn học trang bị kiến thức hiện đại về lý thuyết xấp xỉ hàm thực bằng đa thức lượng giác, đa thức đại số, sóng nhỏ và các công cụ khác. Phần cơ bản của môn học là xấp xỉ bằng phương pháp tuyến tính. Tuy nhiên môn học cùng đề cập đến một số vấn đề hiện đại của xấp xỉ phi tuyến. Từ đây, sinh viên có thể vận dụng những kiến thức đã được tiếp thu trong các lĩnh vực của giải tích số, xử lý và nén tín hiệu…

*Hình học vi phân

Giới thiệu hình học vi phân, trọng tâm về đa tạp Riemann: đa tạp khả vi, không gian tiếp xúc, tích phân của trường véc tơ và dạng vi phân, liên thông tuyến tính, hình học Riemann.

*Bổ túc về đại số tuyến tính

Kiến thức chuẩn bị về phạm trù và hàm tử. Ma trận và K-đồng cấu. Cấu trúc các dạng song tuyến tính. Tích đa tuyến tính.

*Đại số giao hoán

Vành và mô đun, vành và mô đun có điều kiện hữu hạn, phân tích nguyên sơ, địa phương hóa, nhập môn lý thuyết chiều.

*Hình học đại số

Giới thiệu các kiến thức cơ bản về hình học đại số: Đa tạp đại số afin, đa tạp xạ ảnh, hình học song hữu tỉ, giải kì dị, ước và các dạng vi phân, số giao.

*Tôpô đại số

Phạm trù. Đồng luân, nhóm cơ bản và ứng dụng. Đồng điều kỳ dị và ứng dụng. Các tích.

*Biểu diễn nhóm/Đối đồng điều của nhóm

Cơ sở lý thuyết biểu diễn. Nhóm, môđun và dãy khớp, mở rộng nhóm và đối đồng điều của nhóm. Ứng dụng vào bài toán phân loại nhóm cấp thấp. Mở rộng của nhóm không abel - cản trở của mở rộng. Ứng dụng vào bài toán phân loại nhóm cấp 16.

*Nhóm Lie và đại số Lie

Khái niệm về nhóm Lie và đại số Lie, các ví dụ cơ bản. Đại số Lie của nhóm Lie, nhóm Lie con và nhóm Lie thương. Lý thuyết Lie: Ánh xạ mũ, định lý đơn đạo, ví dụ phân loại nhóm Lie và đại số Lie chiều thấp. Các lớp đại số Lie và nhóm Lie đặc biệt.

*Hình học và tôpô vi phân

Giới thiệu đa tạp tôpô, đa tạp khả vi; Lý thuyết giao mod 2; Bậc, số giao và trường véctơ; Lý thuyết Morse; Lý thuyết đối bờ.

*K-lý thuyết và định lý chỉ số

K-lý thuyết: Nhóm Grothendieck; KU-nhóm của không gian tôpô; Định lý tuần hoàn Bott; KO-hàm tử

Định lý chỉ số cho toán tử elliptic: Toán tử vi phân và toán tử elliptic; Chỉ số của toán tử elliptic; Đặc trưng Chern; Định lý chỉ số Atiyah-Singer cho toán tử elliptic.

*Lý thuyết đồng luân và đồng điều

Phạm trù. Đồng luân, nhóm cơ bản và ứng dụng. Đồng điều kỳ dị và ứng dụng. Các tích.

*Lý thuyết kỳ dị

Giới thiệu lý thuyết kỳ dị thực và phức, chủ yếu là kỳ dị phức. Phần lớn về các tính chất địa phương, như phân loại kỳ dị, phân thớ Milnor, giải kỳ dị, v.v. Ngoài ra các vấn đề về tính chất toàn cục trong lý thuyết kỳ dị, như nhóm cơ bản của phần bù hay tôpô của siêu mặt xạ ảnh sẽ được giới thiệu.

*Lý thuyết nút và đa tạp số chiều thấp

Giới thiệu bài toán phân loại nút và đa tạp 3-chiều. Cụ thể là xây dựng các bất biến của nút. Các phép xây dựng đa tạp 3-chiều: phép chẻ Heegard, giải phẫu  nút, phủ rẽ nhánh. Cấu trúc hình học trên đa tạp 3-chiều và  chương trình Thurston.

*Phân thớ và lớp đặc trưng

Giới thiệu phân thớ (chủ yếu phân thớ véctơ và phân thớ chính) và các lớp đặc trưng. Một số ứng dụng vào lý thuyết cobordism và bài toán về các cấu trúc vi phân kỳ lạ (exotic) trên mặt cầu

*Toán tử đối đồng điều

Xây dựng đại số Steenrod theo tiên đề. Đối ngẫu của đại số Steenrod, ứng dụng: Nhúng các không gian vào mặt cầu. Xây dựng các toán tử Steenrod. Quan hệ Adem và định lý về tính duy nhất.