Chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp

(Theo chương trình đào tạo Thạc sĩ của Trường ĐH Khoa học tự nhiên – ĐHQG Hà Nội)

 

Tên chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP (Elementary Mathematics Methods)

Tên ngành: Toán học (Mathematics).

Bậc đào tạo: Thạc sĩ

Tên văn bằng: Thạc sĩ Toán học (Master in Mathematics)

 

Đối tượng dự thi

Đối tượng được đăng ký dự thi: Công dân nước CHXHCN Việt Nam có đủ các điều kiện quy định dưới đây được dự thi vào đào tạo thạc sĩ:

*Điều kiện văn bằng

Thí sinh phải có một trong các văn bằng sau:

- Có bằng tốt nghiệp ngành đúng hoặc phù hợp với ngành đăng ký dự thi: Toán học, Toán – Tin ứng dụng, Sư phạm Toán, Toán – Cơ.

- Có bằng tốt nghiệp đại học chính qui ngành gần với ngành đăng ký dự thi, đã học bổ sung kiến thức các môn học để có trình độ tương đương với bằng tốt nghiệp đại học ngành đúng.

*Điều kiện về thâm niên công tác

- Thí sinh có bằng tốt nghiệp đại học loại khá trở lên, ngành tốt nghiệp đúng hoặc phù hợp với ngành đăng ký dự thi được dự thi ngay sau khi tốt nghiệp đại học.

- Những trường hợp còn lại phải có ít nhất hai năm kinh nghiệm làm việc trong lĩnh vực chuyên môn đăng ký dự thi kể từ khi tốt nghiệp đại học (tính từ ngày Hiệu trưởng ký quyết định công nhận tốt nghiệp) đến ngày đăng ký dự thi.

 

Mục tiêu đào tạo:

*Về kiến thức: trang bị các kiến thức nâng cao về chuyên ngành, mang tính cập nhật, hiện đại, đạt trình độ thạc sĩ khu vực và quốc tế.

*Về kỹ năng: trang bị kỹ năng giảng dạy và nghiên cứu chuyên sâu về toán phổ thông.

*Về năng lực: thạc sĩ chuyên ngành này có khả năng giảng dạy toán học ở các trường đại học, cao đẳng, các trường phổ thông trung học,  tham gia nghiên cứu và ứng dụng toán học ở các viện, các cơ quan sản xuất, xây dựng,...

*Về nghiên cứu: có đủ năng lực thực hiện các công tác chuyên môn và nghiên cứu khoa học trong chuyên ngành của mình, tham gia vào các hướng nghiên cứu hiện có tại khoa toán-cơ-tin học  

 

Các môn học và số tín chỉ

STT	Tên môn học	Số Tín chỉ
I.	Khối kiến thức chung	11
	Triết học (Philosophy)	4
	Ngoại ngữ chung (Foreign languague for general purposes)	4
	Ngoại ngữ chuyên ngành (Foreign languague specific purposes)	3
II.	Khối kiến thức cơ sở và chuyên ngành
	II.1. Các môn học bắt buộc	22
	Độ đo và tích phân (Measure and integration)	2
	Giải tích phi tuyến (Nonlinear analysis)	2
	Giải tích trên đa tạp (Analysis on manifolds)	2
	Lý thuyết nhóm và biểu diễn nhóm (Group theory and group representations)	2
	Lý thuyết toán tử tuyến tính (Theory of linear operators)	2
	Lý thuyết xấp xỉ (Approximation theory)	2
	Hình học vi phân (Differential geometry)	2
	Cơ sở giải tích lồi (Introduction to convex analysis)	2
	Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev (Distribution theory and Sobolev spaces)	2
	Phương trình sai phân (Difference equations)	2
	Phương trình hàm (Functional equations)	2
	II.2. Các môn học lựa chọn	8/26
	Bất đẳng thức và ứng dụng (Inequalities and applications)	2
	Hình học tổ hợp (Combinatorical geometry)	2
	Lý thuyết đồ thị và ứng dụng (Graph theory and applications)	2
	Lý thuyết giải tích đại số (Theory of algebraic analysis)	2
	Lý thuyết nội suy (Interpolation theory)	2
	Toán rời rạc (Discrete mathematics)	2
	Lý thuyết đồng dư và chia hết (Congruence theory)	2
	Phương pháp vectơ (Vector methods)	2
	Phương trình Diophăng (Diophan equations)	2
	Hình học xạ ảnh (Projective Geometry)	2
	Toán logic (Mathematical logics)	2
	Cơ sở hình học (Introduction to geometry)	2
	Lý thuyết xấp xỉ hàm (Function approximation theory)	2
III.	Luận văn	16
	Cộng:	57

 

Tóm tắt nội dung môn học.

Độ đo và tích phân

Môn học trang bị những kiến thức cơ bản và nâng cao về lý thuyết độ đo và tích phân như: Vành, đại số, - vành, - đại số các tập con của một tập đã cho, Độ đo dương,  Không gian đo được, Ánh xạ và hàm đo được, Tích phân (các hàm dương), Tích phân Lebesgue trừu tượng, Hàm khả tích, Các không gian Lebesgue Lp và Lp (1 ≤ p ≤ +∞), Các kiểu hội tụ, Độ đo tích. Độ đo ảnh, Độ đo cảm sinh, Độ đo thực hoặc phức. Khai triển, Độ đo liên tục tuyệt đối, Độ đo Radon

Giải tích phi tuyến

Môn học này giới thiệu những khái niệm cơ bản mở đầu của giải tích hàm phi tuyến như phép tính vi phân trong không gian Banach, áp dụng của phép tính vi phân vào việc nghiên cứu bài toán cực trị của các phiếm hàm khả vi đặc biệt là các bài toán của phép tính biến phân. Ngoài ra môn học cũng trình bày một số định lý về điểm bất động của các ánh xạ liên tục trong các không gian metric, cấu trúc hình học của các không gian Banach cũng như một số định lý về điểm bất động của các ánh xạ không giãn trong không gian Banach và không gian Hilbert cùng với một vài áp dụng của các định lý đó.

Giải tích trên đa tạp

Môn học trang bị những kiến thức cơ bản về phép tính vi tích phân trên đa tạp khả vi: các đa tạp con trong Rn, trường véc tơ, đa tạp khả vi và tích phân trên đa tạp.

Lý thuyết nhóm và biểu diễn nhóm

Môn học trang bị những kiến thức cơ bản và nâng cao về lý thuyết nhóm và biểu diễn nhóm: Biểu diễn nhóm

Vành nhóm, Môđun trên vành nhóm, Đồng cấu môđun trên vành nhóm, Môđun con và tính khả quy, Định lý Maschke

Bổ đề Schur, Môđun bất khả quy, Phân tích vành nhóm thành các môđun con bất khả quy, Các lớp liên hợp, Đặc trưng của biểu diễn, Tích vô hướng của các đặc trưng, Số các biểu diễn bất khả quy của một nhóm, Bảng đặc trưng và các quan hệ trực giao

Nhóm con chuẩn tắc và nâng các đặc trưng, Một số bảng đặc trưng sơ cấp, Tích tenxơ của các biểu diễn, Hạn chế biểu diễn xuống nhóm con, Môđun và đặc trưng cảm sinh.

Lý thuyết toán tử tuyến tính

Môn học trang bị những kiến thức cơ bản về lý thuyết nửa nhóm toán tử, lý thuyết nhiễu loạn và xấp xỉ.

Lý thuyết xấp xỉ

Môn học trang bị kiến thức hiện đại về lý thuyết xấp xỉ hàm thực bằng đa thức lượng giác, đa thức đại số, sóng nhỏ và các công cụ khác. Phần cơ bản của môn học là xấp xỉ bằng phương pháp tuyến tính. Tuy nhiên môn học cùng đề cập đến một số vấn đề hiện đại của xấp xỉ phi tuyến. Từ đây, sinh viên có thể vận dụng những kiến thức đã được tiếp thu trong các lĩnh vực của giải tích số, xử lý và nén tín hiệu…

Hình học vi phân

Giới thiệu hình học vi phân, trọng tâm về đa tạp Riemann: đa tạp khả vi, không gian tiếp xúc, tích phân của trường véc tơ và dạng vi phân, liên thông tuyến tính, hình học Riemann.

Cơ sở giải tích lồi

Cung cấp những kiến thức cơ bản về các công cụ giải tích trên hai đối tượng toán học là tập hợp lồi và hàm lồi, làm cơ sở cho các môn học chuyên ngành.

Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev

Cung cấp cho sinh viên các nội dung cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev nhằm làm cơ sở để đi sâu nghiên cứu lý thuyết hiện đại của phương trình đạo hàm riêng, giải tích hàm và toán học tính toán.

Phương trình  sai phân

Môn học nhằm trang bị cho học viên những kiến thức cơ bản và nâng cao về lý thuyết phương trình sai phân: sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy, phương pháp giải một số lớp phương trình đặc biệt,  tính ổn định nghiệm, … và ứng dụng trong toán học phổ thông cũng như toán học tính toán.

Phương trình hàm

Trình bày cơ sở và lý thuyết các phương trình hàm cơ bản. Đặc biệt, tập trung vào lớp các phương trình hàm với cặp biến tự do trong lớp hàm liên tục. Xét các phương trình hàm sinh bởi các phép biến hình, các dịch chuyển đối số, các hàm số tuần hoàn cộng tính và nhân tính.

Bất đẳng thức và ứng dụng

Trình bày cơ sở lý thuyết các bất đẳng thức cơ bản, đặc biệt đi sâu khảo sát các bất đẳng thức liên quan đến quy hoạch, ước lượng và nội suy không gian, trình bày các ứng dụng trong các bài toán cực trị, trong giải và biện luận phương trình và bất phương trình, trong hình học và số học,…

Hình học tổ hợp

Môn học nhằm trang bị cho học viên những kiến thức cơ bản và nâng cao về hình học tổ hợp và một số ứng dụng trong toán học phổ thông.

Lý thuyết đồ thị và ứng dụng

Môn học nhằm trang bị cho học viên những kiến thức cơ bản và nâng cao về lý thuyết đồ thị và khả năng ứng dụng phong phú của lý thuyết đồ thị. Đồng thời cũng giúp học viên nắm được khả năng biểu diễn đa dạng của đồ thị. Trên cơ sở đó biết chuyển các bài toán “không mẫu mực” về dạng đồ thị, rồi vận dụng các kết quả của lý thuyế đồ thị để giải quyết.

Lý thuyết giải tích đại số

Trình bày cơ sở lý thuyết toán tử đại số, toán tử khả nghịch một phía, toán tử khả nghịch suy rộng. Đặc biệt, khảo sát các phương pháp đại số trong giải tích như lý thuyết kỳ dị trừu tượng, lý thuyết các bài toán biên, bài toán ban đầu và các vấn đề liên quan. Trên cơ sở đó cho cách giải một số lớp các phương trình và bài toán biên liên quan đến các toán tử vi phân, sai phân, tích phân kỳ dị, phương trình hàm.

Lý thuyết nội suy

Trình bày cơ sở và lý thuyết các bài toán nội suy cổ điển  cơ bản  và tổng quát. Đặc biệt, tập trung khảo sát một số lớp bài toán nội suy trừu tượng với toán tử khả nghịch suy rộng và khả nghịch một phía. Xét một số ứng dụng nội suy trong xấp xỉ và ước lượng hàm.

Toán rời rạc

Môm học nhằm trang bị cho học viên những kiến thức cơ bản và nâng cao về Toán rời rạc: Đại số logic và logic vị từ, Lý thuyết đồ thị, Lý thuyết thuật toán, Lý thuyết tổ hợp. Đồng thời cũng giúp cho học viên nâng cao khả năng ứng dụng Toán rời rạc vào các lĩnh vực khác nhau của khoa học và thực tế.

Lý thuyết đồng dư và chia hết

Môn học nhằm trang bị cho học viên những kiến thức cơ bản và nâng cao về lý thuyết đồng dư và một số úng dụng trong toán học phổ thông.

Phương pháp véctơ

Trình bày  cơ sở lý thuyết và ứng dụng của phương pháp véctơ giải các bài toán hình học, lượng giác và đại số. Đặc biệt khảo sát sâu phương pháp véctơ gắn với phương pháp tọa độ.

Phương trình Diophăng

Trình bày cơ sở lý thuyết của các phương trình Diophăng và phương pháp xấp xỉ Diophăng trong tập các số nguyên và các số tự nhiên. Tiếp theo, áp dụng khảo sát các bài toán liên quan về liên phân số, về đồng dư,…

Hình học xạ ảnh

Môn học này nhằm mục đích trang bị cho học viên những kiến thức nền tảng và hết sức cơ bản về việc xây dựng lý thuyết hình học theo quan điểm nhóm (nhóm các phép biến hình). Theo quan điểm nhóm thì hình học xạ ảnh là hình học của nhóm xạ ảnh, hình học afin là hình học của nhóm afin, hình học Euclide là hình học của nhóm đồng dạng, hình học phi Euclide Lobachevsky là hình học của nhóm xạ ảnh bảo toàn một đường trái xoan và hình học Riemann nghĩa hẹp là hình học của nhám xạ ảnh bảo toàn một “đường cong không” (đường cong thực nhưng không chứa một điểm thực nào xét về phương diện đại số).

Toán logic

Môn học nhằm trang bị cho học viên những kiến thức cơ bản và nâng cao về Toán logic. Trên cơ sở đó học viên nâng cao được khả năng tư duy suy luận và ứng dụng vào thực tế.

Cơ sở hình học

Môn học này nhằm mục đích trang bị cho học viên những kiến thức nền tảng và hết sức cơ bản về việc xây dựng lý thuyết hình học bằng phương pháp tiên đề. Trong đó có hình học Euclide, hình học afin Euclide, hình học phi Euclide (Lobachevsky và Riemann nghĩa hẹp), và một số hệ tiên đề khác nhau của các hình học đó (hệ tiên đề Euclide-Hilbert, hệ tiên đề Weyl và hệ tiên đề Pogorelov…).

Lý thuyết xấp xỉ hàm

Trình bày cơ sở lý thuyết đa thức Trebyshev, các vấn đề xấp xỉ, xấp xỉ tối ưu, xấp xỉ tiệm cận, xấp xỉ đều. Xét các ứng dụng trong nội suy,  các định lý Berstein-Markov,…