Chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

(Theo Chương trình đào tạo Thạc sĩ của Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội)

 

Tên chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

(Theory of Probability and Mathematical Statistics ).

Tên ngành: Toán học (Mathematics).

Bậc đào tạo: Thạc sĩ

Tên văn bằng: Thạc sĩ Toán học (Master in Mathematics).

 

Đối tượng dự thi

Đối tượng được đăng ký dự thi: Công dân nước CHXHCN Việt Nam có đủ các điều kiện quy định dưới đây được dự thi vào đào tạo thạc sĩ:

Điều kiện văn bằng

Thí sinh phải có một trong các văn bằng sau:

- Có bằng tốt nghiệp ngành đúng hoặc phù hợp với ngành đăng ký dự thi: Toán học, Toán – Tin ứng dụng, Sư phạm Toán, Toán – Cơ.

- Có bằng tốt nghiệp đại học chính qui ngành gần với ngành đăng ký dự thi, đã học bổ sung kiến thức các môn học để có trình độ tương đương với bằng tốt nghiệp đại học ngành đúng.

Điều kiện về thâm niên công tác

- Thí sinh có bằng tốt nghiệp đại học loại khá trở lên, ngành tốt nghiệp đúng hoặc phù hợp với ngành đăng ký dự thi được dự thi ngay sau khi tốt nghiệp đại học.

- Những trường hợp còn lại phải có ít nhất hai năm kinh nghiệm làm việc trong lĩnh vực chuyên môn đăng ký dự thi kể từ khi tốt nghiệp đại học (tính từ ngày Hiệu trưởng ký quyết định công nhận tốt nghiệp) đến ngày đăng ký dự thi.

 

Mục tiêu đào tạo:

Về kiến thức: Trang bị các kiến thức nâng cao và được cập nhật về chuyên ngành Xác suất thống kê.

Về năng lực giảng dạy và nghiên cứu khoa học: Thạc sĩ chuyên ngành Xác suất thống kê có khả năng giảng dạy các môn Toán học cơ bản và các môn thuộc chuyên ngành Xác suất thống kê ở các trường Đại học, Cao đẳng, có khả năng tham gia nghiên cứu và ứng dụng Toán học theo hướng chuyên ngành của mình ở các Viện, trường Đại học và các cơ quan nghiên cứu, sản xuất, kinh doang. Thạc sĩ chuyên ngành Xác suất thống kê có thể được  tiếp tục đào tạo ở bậc học tiến sĩ theo các mã ngành tương ứng.

 

Các môn học và số tín chỉ

STT	Tên môn học	Số tín chỉ
I.	Khối kiến thức chung	11
1	Triết học (Philosophy)	4
2	Ngoại ngữ chung (Foreign languague for general purposes)	4
3	Ngoại ngữ chuyên ngành (Foreign languague for specific purposes)	3
II.	Khối kiến thức cơ sở và chuyên ngành
	II.1. Các môn học bắt buộc	22
4	Độ đo và tích phân (Measure and Integration)	2
5	Giải tích phi tuyến (Nonlinear Analysis)	2
6	Giải tích trên đa tạp (Analysis on Manifolds)	2
7	Lý thuyết nhóm và biểu diễn nhóm (Theory of Groups and Group Representations)	2
8	Lý thuyết toán tử tuyến tính (Theory of Linear Operators)	2
9	Lý thuyết xấp xỉ (Theory of Approximation)	2
10	Hình học vi phân (Differential Geometry)	2
11	Bổ túc xác suất (Advanced Probability)	2
12	Giải tích ngẫu nhiên (Stochastic analysis)	2
13	Lý thuyết ước lượng (Theory of Estimation)	2
14	Phương trình vi phân ngẫu nhiên (Stochastic Differential equations)	2
	II.2. Các môn học lựa chọn	8/36
15	Các mô hình ngẫu nhiên trong kinh tế (Statistical modelling in Economics)	2
16	Điều khiển các quá trình ngẫu nhiên (Optimal stochastic processes)	2
17	Lý thuyết độ đo ngẫu nhiên và tích phân ngẫu nhiên (Random measures and random integrals)	2
18	Lý thuyết Martingale (Theory of Martingales)	2
19	Hệ động lực ngẫu nhiên (Random dynamical systems)	2
20	Lý thuyết các quần thể trong môi trường ngẫu nhiên (Theory of Populations in random environment)	2
21	Lý thuyết kiểm định giả thiết (Theory of  hypothesis testing)	2
22	Thống kê quá trình ngẫu nhiên (Statistics of stochastic processes)	2
23	Phân tích thống kê nhiều chiều (Multivariate analysis)	2
24	Phân tích chuỗi thời gian (Dự báo và điều khiển) Time series analysis and forecasting	2
25	Quá trình Markov (Markov processes)	2
26	Quá trình dừng (Stationary processes)	2
27	Toán tử và tích phân ngẫu nhiên (Random operators and random integrals)	2
28	Xác suất trên không gian metric (Probability measures in metric spaces)	2
29	Các  bài toán đặc trưng của thống kê toán học (Characteristic  problems of Statistics)	2
30	Phân tích quá trình điểm không gian (Analysis of  Spacial point processes)	2
31	Phân tích quá trình phủ (Analysis of covered  processes)	2
32	Hình học ngẫu nhiên (Stochastic geometry)	2
III.	Luận văn	16
	Cộng:	57

 

Tóm tắt nội dung môn học:

*Độ đo và tích phân

Môn học trang bị những kiến thức cơ bản và nâng cao về lý thuyết độ đo và tích phân như: Vành, đại số, - vành, - đại số các tập con của một tập đã cho, Độ đo dương,  Không gian đo được, Ánh xạ và hàm đo được, Tích phân (các hàm dương), Tích phân Lebesgue trừu tượng, Hàm khả tích, Các không gian Lebesgue Lp và Lp (1 ≤ p ≤ +∞), Các kiểu hội tụ, Độ đo tích. Độ đo ảnh, Độ đo cảm sinh, Độ đo thực hoặc phức. Khai triển, Độ đo liên tục tuyệt đối, Độ đo Radon.

*Giải tích phi tuyến

Môn học này giới thiệu những khái niệm cơ bản mở đầu của giải tích hàm phi tuyến như phép tính vi phân trong không gian Banach, áp dụng của phép tính vi phân vào việc nghiên cứu bài toán cực trị của các phiếm hàm khả vi đặc biệt là các bài toán của phép tính biến phân. Ngoài ra môn học cũng trình bày một số định lý về điểm bất động của các ánh xạ liên tục trong các không gian metric, cấu trúc hình học của các không gian Banach cũng như một số định lý về điểm bất động của các ánh xạ không giãn trong không gian Banach và không gian Hilbert cùng với một vài áp dụng của các định lý đó.

*Giải tích trên đa tạp

Môn học trang bị những kiến thức cơ bản về phép tính vi tích phân trên đa tạp khả vi: các đa tạp con trong Rn, trường véc tơ, đa tạp khả vi và tích phân trên đa tạp.

*Lý thuyết nhóm và biểu diễn nhóm

Môn học trang bị những kiến thức cơ bản và nâng cao về lý thuyết nhóm và biểu diễn nhóm: Biểu diễn nhóm, Vành nhóm, Môđun trên vành nhóm, Đồng cấu môđun trên vành nhóm, Môđun con và tính khả quy, Định lý Maschke, Bổ đề Schur, Môđun bất khả quy, Phân tích vành nhóm thành các môđun con bất khả quy, Các lớp liên hợp, Đặc trưng của biểu diễn, Tích vô hướng của các đặc trưng, Số các biểu diễn bất khả quy của một nhóm, Bảng đặc trưng và các quan hệ trực giao, Nhóm con chuẩn tắc và nâng các đặc trưng, Một số bảng đặc trưng sơ cấp, Tích tenxơ của các biểu diễn, Hạn chế biểu diễn xuống nhóm con, Môđun và đặc trưng cảm sinh.

*Lý thuyết toán tử tuyến tính

Môn học trang bị những kiến thức cơ bản về lý thuyết nửa nhóm toán tử, lý thuyết nhiễu loạn và xấp xỉ.

*Lý thuyết xấp xỉ

Môn học trang bị kiến thức hiện đại về lý thuyết xấp xỉ hàm thực bằng đa thức lượng giác, đa thức đại số, sóng nhỏ và các công cụ khác. Phần cơ bản của môn học là xấp xỉ bằng phương pháp tuyến tính. Tuy nhiên môn học cùng đề cập đến một số vấn đề hiện đại của xấp xỉ phi tuyến. Từ đây, sinh viên có thể vận dụng những kiến thức đã được tiếp thu trong các lĩnh vực của giải tích số, xử lý và nén tín hiệu…

*Hình học vi phân

Giới thiệu hình học vi phân, trọng tâm về đa tạp Riemann: đa tạp khả vi, không gian tiếp xúc, tích phân của trường véc tơ và dạng vi phân, liên thông tuyến tính, hình học Riemann.

*Bổ túc xác suất

Môn học trang bị các kiến thức nâng cao về lý thuyết xác suất. Một số kiến thức về lý thuyết độ đo, không gian xác suất tổng quát, kì vọng toán học có điều kiện, các định lý giới hạn, quá trình Markov, Martingale với thời gian rời rạc …

*Giải tích ngẫu nhiên

Chuyên đề cung cấp cho học viên những kiến thức cơ bản về quá trình ngẫu nhiên, tính Markov, tính dừng, quá trình Wienner, qúa trình Poisson, tích phân ngẫu nhiên, chuỗi thời gian và dự báo và ý nghĩa thực tiễn của các khái niệm này.

Học sinh cần nắm vững về Xích Markov (Xác suất chuyển, phân loại trạng thái, định lý ERGODIC, các ví dụ); các tích chất cơ bản của quá trình Wiener; Xây dựng tích phân ngẫu nhiên, công thức Ito, ph­ương trình vi phân ngẫu nhiên. Quá trình dừng: chuỗi thời gian liên tục và rời rạc, định lý ERGODIC, các phư­ơng pháp dự báo.

*Lý thuyết ước lượng

Chuyên đề cung cấp cho học viên những kiến thức cơ bản và ứng dụng của lý thuyết ước lượng bao gồm: ước lượng các tham số của  mô hình hoặc ước lượng phi tham tham số. Đồng thời nghiên cứu tính vững và bền vững của các mô hình cũng như độ tin cậy của các ước lượng.

*Phương trình vi phân ngẫu nhiên

Bài giảng về phương trình vi phân ngẫu nhiên nhằm cung cấp cho sinh viên một số cơ sở của lý thuyết xác suất, phương trình vi phân ngẫu nhiên và một số áp dụng của chúng.

Sinh viên theo bài giảng này cần được trang bị tốt lý thuyết xác suất, lý thuyết độ đo, phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đạo hàm riêng. Tuy nhiên, bài giảng sẽ được thiết kế để những sinh viên năm thứ nhất của cao học cũng như những sinh viên giỏi của năm cuối có thể tiếp thu được.

*Điều khiển các quá trình ngẫu nhiên

Mục tiêu chính của bài giảng là trang bị cho sinh viên có kỹ năng mô hình hoá và xử lý một số bài toán điều khiển tối ưu.

Bài giảng trình bày ba phần cơ bản:

Lý thuyết tối ưu với thời gian rời rạc cho mô hình hữu hạn trạng thái và mô hình Borel. Phần mô hình  hữu hạn trạng thái nhằm giúp cho sinh viên nắm bắt được tư tưởng chính khi giải một bài toán điều khiển tối ưu.

Bài toán điều khiển tối ưu một hệ động lực được mô tả bởi phương trình vi phân thường với hai nguyên lý quan trọng nhất của lý thuyết điều khiển tối ưu là nguyên lý Maximum Pontryagin và nguyên lý Quy hoạch động Bellman.

Bài toán điều khiển tối ưu quá trình khuếch tán với  trường hợp không có điều khiển trong hệ số khuếch tán.

*Lý thuyết độ đo ngẫu nhiên và tích phân ngẫu nhiên

Chuyên đề cung cấp cho học viên những kiến thức cơ bản về độ đo ngẫu nhiên và tích phân ngẫu nhiên bao gồm: độ đo ngẫu nhiên giá trị trực giao, độ đo ngẫu nhiên giá trị độc lập,độ đo ngẫu nhiên Gauss và ổn định , tích phân ngẫu nhiên của các hàm tất định đối với các độ đo ngẫu nhiên (tích phân kiểu Wiener) tích phân ngẫu nhiên của hàm ngẫu nhiên đối với các độ đo ngẫu nhiên (tích phn kiểu Ito)

*Lý thuyết Martingale

Chuyên đề cung cấp cho học viên những kiến thức cơ bản và ý nghĩa thực tiễn của khái niệm Martingale, bao gồm: các bất đẳng thức Martingale, các đinh lý hội tụ của Martingale, tích phân ngẫu nhiên Ito và một số phương trình vi phân ngẫu nhiên.

*Hệ động lực ngẫu nhiên

Lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên là lĩnh vực phân tích dáng điệu tiệm cận khi thời gian lớn của một hệ tiến hóa theo thời gian chịu các tác động bởi tiếng ồn ngẫu nhiên. Giáo trình trình bày các khái niệm cơ bản về cả hệ động lực tất định và ngẫu nhiên với các thí dụ từ đơn giản đến phức tạp.  Giáo trình đề cập đến cả hai trường hợp thời gian liên tục và thời gian rời rạc. Các bài toán liên tục được trình bày dựa trên các lý thuyết về phương trình vi phân. Các phương pháp số được sử dung để minh họa cho thời gian rời rạc.

*Lý thuyết các quần thể trong môi trường tất định và ngẫu nhiên

Giáo trình Lý thuyết các quần thể trong môi trường tất định và ngẫu nhiên đáp ứng yêu cầu khẩn cấp là đưa các nhà khoa học được đào tạo toán học vào các khoa học môi trường, sinh thái và sinh học. Giáo trình được giảng dạy ở bậc cao học, giới thiệu cách mô hình hóa các bài toán về môi trường và xử lý các mô hình này bằng công cụ toán học.

Nội dung chính của giáo trình là:

Cung cấp công cụ toán học để xử lý các mô hình thực tế.

Giới thiệu cách mô hình hóa các bài toán về môi trường và xử lý các mô hình này bằng công cụ toán học

Đưa ra các giải pháp.

Các áp dụng vào hệ sinh thái chịu sự tác động của con người và các yếu tố ngẫu nhiên

*Lý thuyết kiểm định giả thiết

Trang bị các kết quả cơ bản cũng như phương pháp nghiên cứu của Lý thuyết Kiểm định giả thiết – một trong hai lĩnh vực rất cơ bản của Thống kê Toán học. Trình bày về tiêu chuẩn mạnh nhất và mạnh đều nhất, tiêu chuẩn không chệch , mạnh đều nhất không chệch và tiêu chuẩn bất biến.

*Thống kê quá trình ngẫu nhiên

Trong môn học này người ta thường nghiên cứu các kết luận thống kê dựa trên một số hữu hạn hoặc đếm được các quan sát về một quá trình ngẫu nhiên dừng hoặc Markov, các quá trình với gia số độc lập.Các bài toán cơ bản thường được nghiên cứu là bài toán ước lượng các tham số, kiểm định các giả thiết thống kê, tách tín hiệu trên nền ồn, dự báo giá trị tương lai của quá trình.

Phân tích thống kê nhiều chiều

Trang bị cho người học các kiến thức cơ bản về véc tơ ngẫu nhiên, phân bố xác suất, véc tơ giá trị trung bình, ma trận phương sai của chúng, lấy mẫu từ phân bố nhiều chiều, các tính chất thống kê của các đặc trưng mẫu nhiều chiều, ước lượng các tham số của phân bố chuẩn nhiều chiều, kiểm định các giả thiết về véc tơ giá trị trung bình, miền tin cậy cho véc tơ giá trị trung bình, so sánh 2 hoặc nhiều véc tơ giá trị trung bình, phân tích hồi qui,  phân tích tương quan tuyến tính và phi tuyến giữa các biến phụ thuộc và các biến độc lập; Các phương pháp phân tích thành phần chính và phân tích nhân tố, phân tích phân biệt và phân lớp.

*Phân tích chuỗi thời gian (Dự báo và điều khiển)

Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về chuỗi thời gian ( đó là dãy các đại lượng ngẫu nhiên diễn biến theo thời gian) như : Cấu trúc của chuỗi thời gian, các phương pháp làm trơn chuỗi thời gian, tách thành phần xu thế, thành phần mùa để được chuỗi dư là chuỗi dừng. Các chuỗi thời gian thường gặp trong kinh tế và các lĩnh vực khác: chuỗi ARIMAR. Phương pháp nhận dạng các chuỗi ARIMAR, ước lượng các tham số, và chẩn đoán sự phù hợp của mô hình ARIMAR. Dự báo các dãy dừng và dãy ARIMAR.

*Quá trình Markov

Chuyên đề cung cấp cho học viên những kiến thức cơ bản và nâng cao về quá trình Markov, một lớp quá trình ngẫu nhiên rất quan trọng về lý thuyết và áp dụng. Chuyên đề đề cập tới những vấn đề như xích Markov ,phân loại trạng tháI xích Markov,quá trình Markov và xác suất chuyển, toán tử cực vi, tính Markov mạnh. Giới thiệu một số quá trình Markov quan trọng và ứng dụng của chúng.

*Quá trình dừng

Chuyên đề cung cấp cho học viên những kiến thức cơ bản  về quá trình dừng bao gồm quá trình dừng với thời gian liên tục và rời rạc,hàm tự tưong quan, độ đo phổ, biểu diễn phổ, dự báo quá trình dùng và tính ecgodich. Giới thiệu một số quá trình dừng quan trọng và ứng dụng của chúng.

*Toán tử và tích phân ngẫu nhiên

Chuyên đề cung cấp cho học viên những kiến thức cơ bản về một hướng mới trong lý thuyết xác suất đó là lý thuyết các toán tử ngẫu nhiên và mối liên hệ của lý thuyết này với tích phân ngẫu nhiên.

*Xác suất trên không gian mêtric

Chuyên đề cung cấp cho học viên những kiến thức cơ bản về độ đo xác suất trên không gian mettric như : độ đo chính quy, độ đo Radon, sụ hội tụ yêú các độ đo, tính compac yếu và định lý Prokhorov, định lý biểu diễn Riess. Giới thiệu một số độ đo xác suất trên không gian mêtric và ứng dụng của chúng.

*Các  bài toán đặc trưng của thống kê toán học

Các kết quả đặc trưng phân phối xác suất bởi các tính chất của thống kê tuyến tính bởi tính tối ưu của ước lượng bởi thống kê đủ . Tính ổn định của các đặc trưng phân phối .

*Phân tích quá trình điểm không gian

Cung cấp một số phương pháp thường được dùng để phân tích một mẫu ảnh . Trình bày về các tiêu chuẩn kiểm tra mẫu ảnh dựa trên khoảng cách giữa các biến cố , khoảng cách tới lân cận gần nhất , khoảng cách từ điểm tới các biến cố gần nhất , số đếm ở ô vuông . Phân tích mẫu ảnh dựa trên các hàm cường độ cấp hai  K(t) . Phân  tích mẫu ảnh nhiều chiều .

*Phân tích quá trình phủ

Trình bày về các khoảng phủ trên đường thẳng , phân phối của độ dài phủ ,xác suất phủ hoàn toàn . Các tính chất củ vùng trống trong R1 và trong nhiều chiều , Mô hình Boolean . Chùm trong mô hình boolean , phương pháp đếm trong mô hình boolean .

*Hình học ngẫu nhiên

Cung cấp các kết quả cơ bản và phương pháp nghiên cứu trong hình học ngẫu nhiên. Giới thiệu các phép toán trên các tập con của không gian Eclid . Trình bày các kết quả của quá trình điểm (Poisson dừng , Poisson tổng quát , quá trình điểm tổng quát : Độ đo moment và các đại lượng liên quan ,phân phối Palm , độ đo moment cấp hai ) . Trình bày về tập đóng ngẫu nhiên . Giới thiệu quá trình ngẫu nhiên của các đối tượng hình học . Giới thiệu về khảm ngẫu nhiên và lý thuyết nổi.